DEA 模型

符号

集合：

• $K$：决策单元(DMUs)集合.
• $I$：输入集合
• $J$：输出集合

索引：

• $k,r$：These are the index of set $K$ and $r$ is refer to a specific firm in set $K$ ($k, r \in K$).
• $i$：It is an index of the set $I$ ($i \in I$).
• $j$：It is an index of the set $J$ ($j \in J$).

决策变量：

• $\theta_{r}$：It is the dual variable of the $r^{th}$ DMUs.
• $\lambda_{k}$：It is the dual variable of the $k^{th}$" DMUs.
• $v_{ki}$: It is the $i^{th}$ variables of the $k^{th}$weights of input data.
• $u_{kj}$: It is the $j^{th}$ variables of the $k^{th}$ weights of output data.

参数：

• $X_{ri}, X_{ki}$：These are the $i^{th}$ input data of the $k^{th}$ or $r^{th}$ DMUs.
• $Y_{ri}, Y_{ki}$：These are the $j^{th}$ output data of the $k^{th}$ or $r^{th}$ DMUs.

CRS 模型

Charnes, Cooper和Rhodes (CCR)在Ferrell的效率度量模型的基础上，于1978年提出了CRS DEA模型，又称CCR模型。
可以衡量“整体效率(OE)”，并确定“一个特定企业r”的“最具生产力的规模(MPSS)”。

原始形式

原始形式是分式规划(Fractional Programming)

\begin{gathered} \operatorname{Max} E_{r}^{C R S}=\frac{\sum_{j=1}^{J} u_{r j} Y_{r j}}{\sum_{i=1}^{I} v_{r i} Y_{r i}} \\ \text { s.t. } \frac{\sum_{j=1}^{J} u_{r j} Y_{k j}}{\sum_{i=1}^{I} v_{r i} X_{k i}} \leq 1, \forall k \\ u_{r j} \geq 0, \forall j \\ v_{r i} \geq 0, \forall i \end{gathered}

该形式有

• $I+J$个决策变量
• $1+K+I+J$个约束条件

对偶形式

由于原规划是一种分数规划，同时也是一种非线性规划，因此可以利用对偶理论将原规划转化为对偶规划，以简化计算。
$$\operatorname{Min} E_{r}^{C R S}=\theta_{r}$$ $$ \begin{gathered} \text { s.t. } \sum_{k=1}^{K} \lambda_{k} X_{k i} \leq \theta_{r} X_{r i}, \forall i \\ \sum_{k=1}^{K} \lambda_{k} Y_{k j} \geq Y_{r j}, \forall j \\ \lambda_{k} \geq 0, \forall k \end{gathered} $$

该形式有

• $K$个决策变量
• $K+I+J$个约束条件

VRS 模型

Banker, Charnes, and Cooper (BCC)在1984年提出VRS DEA模型，又称BCC模型，放宽了收益与规模不变的假设。 可以用来测量特定企业的"技术效率"(Technical Efficiency (TE))

原始形式

$$\operatorname{Max} E_{r}^{V R S}=\frac{\sum_{j=1}^{J} u_{r j} Y_{r j}-u_{0 r}}{\sum_{i=1}^{I} v_{r i} X_{r i}}$$$$\begin{array}{ll}s . t . & \frac{\sum_{j=1}^{J} u_{r j} Y_{k j}-u_{0 r}}{\sum_{i=1}^{I} v_{r i} X_{k i}} \leq 1, \forall k \\ u_{r j} \geq 0, \forall j \\ v_{r i} \geq 0, \forall i \\ u_{0 r} \text { 是自由变量 }\end{array}$$

对偶形式

$$\operatorname{Min} E_{r}^{V R S}=\theta_{r}$$$$ \begin{gathered} \text { s.t. } \sum_{k=1}^{K} \lambda_{k} X_{k i} \leq \theta_{r} X_{r i}, \forall i \\ \sum_{k=1}^{K} \lambda_{k} Y_{k j} \geq Y_{r j}, \forall j \\ \sum_{k=1}^{K} \lambda_{k}=1 \\ \lambda_{k} \geq 0, \forall k \end{gathered} $$

怎样评估效率？

投入导向模型(Input-Oriented Model)

如图所示 点$r$ 代表现在的输入状态，$r$'是最优输入状态. 因此，投入导向模型的思想是“按比例减少投入的数量，而不改变产出的数量”。

产出导向模型(Output-Oriented Model)

如图所示 点$r$ 代表现在的输入状态，$r$'是最优输入状态. 因此，产出导向模型的思想是“在不改变投入数量的情况下，按比例扩大产出数量”。

分解整体效率

要素

• 整体效率Overall Efficiency(OE) 是 CRS DEA模型的最优解$E_{r}^{CRS}$.
• 技术效率Technical Efficiency(TE) 是 VRS DEA模型的最优解$E_{r}^{VRS}$
• 规模效率Scale Efficiency (SE) 可以通过$OE$除以$TE$来计算。此外，经济规模影响企业的生产率，企业希望达到“经济规模”来降低生产成本。 ### 形式 $$\text { Overall efficiency }(\mathrm{OE})=\text { Technical efficiency }(\mathrm{TE}) \times \text { Scale efficiency }(\mathrm{SE})$$

解释效率分解

这是一个以投入为导向的模型，用于说明效率的组成部分。

几何特征

$$ O E=\frac{\overline{o r *}}{\overline{o r}}, \quad T E=\frac{\overline{o r^{\prime}}}{\overline{o r}}, \quad S E=\frac{\overline{o r *}}{\overline{o r^{\prime}}} $$

参考文献

[1] Coelli, T. J., Rao, D. S. P., O'Donnell, C. J., & Battese, G. E. (2005). An introduction to efficiency and productivity analysis. Springer Science & Business Media.
[2] Data envelopment analysis. (2020,June 9). In Wikipedia, the free encyclopedia. Retrieved June 20, 2020, from https://en.wikipedia.org/wiki/Data_envelopment_analysis
[3] Lee, C. Y., & Johnson, A. L. (2012). Two-dimensional efficiency decomposition to measure the demand effect in productivity analysis. European Journal of Operational Research, 216(3), 584-593.
[4] Returns to scale (2020, April 16). In Wikipedia, the free encyclopedia. Retrieved June 22, 2020, from https://en.wikipedia.org/wiki/Returns_to_scale
[5] Vörösmarty, G., & Dobos, I. (2020). A literature review of sustainable supplier evaluation with Data Envelopment Analysis. Journal of Cleaner Production, 121672.